我的最终学历就是一个高中毕业生，现在所掌握的大部分知识体系都是通过自学形成的。高等数学是我高中毕业之后自学的，而且还自学了三门力学并成为工业与民用建筑的工程师。后来改行做管理工作，当时企业里有一位名声很大的总会计师，并兼任市里经管学院的课程，是一个客座教授。他问过我一个问题：“为什么边际利润为零的时候，利润最大？”当时他拿了一本由苏联翻译过来的教科书让我看：边际利润的意义是一是指每增加一单位产出所获得的利润。那么当增加一个产品，而利润的增加为零的时候，这时候所获得的利润为最大。这段话是不太好理解，于是总会计师也就无法向他的学生解释边际利润。这是发生在

  如果建立一个关于利润的函数模型，利润函数的导数为零，那么函数就有极值。当利润函数导数为零，利润最大。这就是“边际利润为零的时候，利润最大”的数学意义。

  现在往往在经济学中所说的“拐点”并不是极值，譬如大家一直在盼望房价何时降价啊？其实降价不是拐点。我发现学界的学者，媒体几乎都把这样的一个问题搞错了，几乎都把降价说成了拐点。实际上如果房价原来是上升的，现在下降了，这并不是拐点，这个变化点是房价的边际值，通俗一点就是最高房价，这个时刻房价的变化率为零。这和前面的边际利润的数学意义是一样的。

  拐点的数学意义并非是这样的。通俗的讲“拐点”是一个数学名词，就是函数（连续）的二阶导数为零的点。从函数图像上来讲，就是函由下凹函数变为向上凸函数；或上凸函数变为向下凹函数的分界点，所表示的几何意义是函数的上升或下降的变化速率由正变负，或者由负变正的分界点。说的更直白一些是函数的速率的变化率为零。

  这好像就更不好好懂了。那么我们仍旧是以房价为例子：这些年来房价上涨的速度时高时低，总的趋势是一直在上涨，涨幅连续上升时并不完全是一个向上凹的函数，出现涨幅由陡变缓就出现拐点，这时候由一个凹函数变成凸函数。或者涨幅变缓又转而增大时也出现拐点，拐点的数学意义是描述房价涨幅由递增到递减；或者涨幅由递减到递增的交界点。这些年房价虽然是持续上涨，但涨幅是一直在波动的，因此实际上已然浮现过许多个拐点。

  因此现在普遍议论的房价“拐点”是房价由涨价转变为降价的临界点，这不是拐点，而是价格的极值点。

  在股市中拐点几乎时时刻刻都可能会发生，但从长期的大盘趋势看就不是这样了，我这里有一张上证指数的K线图，这是随机在百度找的一张。很明显垂直红线位置是一个拐点，拐点左侧，指数上升速率较快是一个凹函数，而右侧明显放缓，是一个凸函数。最终出现上证指数有牛市变为熊市，我用红色标注了这一个极值点，这一个位置是K线由上升变为下降，这种变化是由拐点发生的那一刻就预示未来的这种变化，这就是拐点意义所在。

  有经验的股民并不研究拐点，他们重视的是K线图下方两条曲线的交汇，每当发生交汇都预示股指的变动。这张图中也显示出在拐点出现的时候有一次交汇，极值的时候又有一次交汇。不同方式的交汇的数学意义就是拐点和极值。

  笔者不炒股票，也从不研究这K线图，但是了解拐点的数学意义，理解K线图会更深刻。可见拐点在连续函数变化中的地位相当重要。

  在人口统计中也有同样的问题，中国人口拐点实际上早就出现了，拐点是说增长的速度由逐年加快转变为逐年变缓。人口拐点并不是描述总人口由上升的转变为下降。当人口拐点出现了，每一年的人口还是继续增加的，只是增速放慢了，于是就出现拐点。但是中国人口的极值点大约还要经过许多年之后才会出现。

  在2010年10月12日人民日报海外版著名经济学家周天勇教授的新论：《中国的“刘易斯拐点”并未来临》。这篇文章说：“刘易斯拐点，指劳动力由过剩走向短缺的转折点。反映的是随着农村富余劳动力向非农产业的逐步转移，农村富余劳动力慢慢地减少，最终枯竭。这一说法由诺贝尔经济学奖得主刘易斯在人口流动模型中提出。”

  后来周天勇教授的老同事徐祥临撰文说：“中国要跳出刘易斯拐点陷阱”。他说：“刘易斯拐点是伪概念”。徐祥临对刘易斯拐点的认识是不是就对了呢？我想未必。

  刘易斯拐点是说农业人口转移的速率的变化。并不是出现枯竭，更不是“最终枯竭”。

  有一个网友写文章说：“刘易斯拐点到来之前，政府必须干预初次分配”。我看了之后也觉得他对“刘易斯拐点”认识并不正确，因为即便拐点来了，只是转移人口速率下降了，转移人口仍然在继续增加，因此“刘易斯拐点”到来之后政府也要干预初次分配。估计这位网友也是学习经济的，显然他对拐点的意义也是了解的不多。

  经济发达国家把分配的重点转移到二次分配的原因是转移人口已经过了极值点，初次分配已经很成熟。显然极值并不是拐点。

  最近一个话题是CPI。去年CPI虽然还没有转正，但是拐点已然浮现，原来不断下降的速率，转变为上升的速率，这就是CPI的拐点，尽管这时候CPI还是负的，但是预示着CPI的走势已发生变化，那个时候央行就应当注意CPI的变化。现在发现年初预计全年CPI3%保不住了，实际上当拐点出现的时候，中国的物价指数已发生明显的变化，已经由通缩开始向通胀转变，尽管还没有通胀的任何迹象，但拐点出现是一个极其强烈的信号。这就是拐点的意义。

  实际上由通缩转变为通胀这一分界点不是拐点，是通货的质变点，但它的真正起点开始于拐点。如果研究CPI，等到发生通胀或者通缩的时候再研究，其实已经为时过晚，应该在拐点出现的时候就注意CPI的走势。

  现代经济学应用数学原理是广泛的，我发现一些经济学家的数学概念是含糊的，讲了不少外行话，让人贻笑大方。

  例如薛兆丰著名的：“需求曲线必定向下”，薛兆丰还是理学学士。薛兆丰说：“在中国经济学界，认为需求曲线有时向上的不乏其人。他们不仅下笔为文，印成铅字一篇篇发表，有些还顺便批评反对者学风不正和理论基础不过硬。他们的名字不提吧。难以解释的是：为什么这么简单的原理，竟然害得那么多老中青经济学人犯错！”

  薛兆丰就对了？如果约束所有条件单纯研究需求与价格，薛兆丰没有错，但是真实的情况并不是非常单纯的需求与价格，例如经济学上还有价格弹性，还有各种各样的因素。因此，薛兆丰就错了，因为一旦放开这些被约束的因素，那么往往就不是“需求曲线必定向下”。

  关于春运火车票涨价的问题，薛兆丰也有高论，他是主张涨价的。如果单纯是说价格与需求，薛兆丰说的“需求曲线必定向下”没有错，当中国的老百姓春节买黄牛票也要回家的时候“需求曲线必定向下”就必定错了。

  中国经济发展需要在理论方面的支撑，数学的贫乏是中国经济学的短板是显而易见。某高校文科高等数学教程的编撰者对我讲，他编写的教程受到一些文科专业的拒绝，我和他有一样的感觉，这是非常悲哀的事情。

  每天媒体中都会传出的似是而非的解读，都是那些假学者在忽悠国民。不过更有意思的是最近有人提出“中国需要一个文化拐点”，这个“拐点”是啥？我就更看不懂了，因为文化的含义是非常宽泛的，并非一个简单的有关问题，如何描述这个“拐点”，我真的就不懂了。

  如果因为“拐点”是一个非常时髦的词汇，于是掂来就用，无需深究它的含义实际上的意思就是今天学术的浮躁。

  本人不是经济学家，只是说了平日中不断学习积累的一些感受，因此难免有误，欢迎批评。